Ayer recibí la estupenda noticia que en el curso de Funciones Reales que se dicta en la FaMAF–UNC, demostraron el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein (algunos omiten uno de los nombres, pero en cualquier caso es un teorema con “doble apellido”). Este teorema dice que, dados dos conjuntos $X$ e $Y$, si hay una inyección $f:X\to Y$ y otra $g:Y\to X$, entonces debe haber una biyección entre ambos. Si convenimos en decir que “$X$ tiene al menos el mismo tamaño que $Y$” (para abreviar, $X\leq_c Y$) siempre que $X$ se inyecte en $Y$, entonces el Teorema CSB dice que $\leq_c$ es antisimétrica, módulo una biyección. Y luego es un orden parcial, puesto que es obviamente reflexiva y transitiva. Continue reading
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Problemas señeros (I)
Abstract. In this series of posts I’ll discuss problems that can be posed in an elementary way but the only way to solve them (to the best of my knowledge) is to develop some set theory. This post is dedicated to a problem appearing in Fraenkel’s Set Theory [1], that states that you can change the iso type of any total order by adding just one point. The solution depends on well orders, which I consider a part of the theory of sets.
Leyendo diversas fuentes, encontré dos problemas elementales cuya solución involucra desarrollar algo de Teoría de Conjuntos “seria”. En este post plantearé uno de ellos.
Cómo romper un orden total
Un orden total es un conjunto $L$ con una relación “$<$” irreflexiva, transitiva, y para la cual vale tricotomía: se da alguna de $x<y$, $x = y$ ó $x>y$ para cualquier par $x,y$ en $L$.
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