Engineering in Mathematics

Spanish version below

I had no time to invest in this blog, but I managed to gather some to write an invited post in Lawrence Paulson’s Machine Logic.

It is related to new trend of computer formalization of mathematics, in which I have also been working.

You can access it through this link.

Aunque no tuve tiempo para dedicarle al blog, no pude resistirme a la invitación de Lawrence Paulson para escribir un post para el suyo.

Entre otras cosas, está relacionado con la nueva ola de formalización de matemática en computadoras, en lo cual también he trabajado. Pueden leerlo aquí.

Corset para el arte

El pasado 3 de octubre di una conferencia para todo público sobre “música y matemática”, durante la Olimpiada de Literatura y Matemática organizada por OMA, en la ciudad de La Falda. La charla fue un tanto larga, pero me voy a concentrar en un momento de la misma.

Gracias Luigi Finetti por la foto

Discutí no sin impericia sobre la posibilidad de que haya matemática (algo “rígido”), o reglas, en el arte (naturalmente libre). Continue reading →

Tres niveles

Un joven compañero de cátedra me preguntó al salir de dar clases, “y ahora, ¿a pensar un poco?”. Le contesté que tendría que ocuparme inmediatamente de alguna burocracia.

Tenía que juntarme a organizar los detalles de la reunión anual de la UMA. Eso sería burocracia de primer nivel.

También tenía que corregir un plan de trabajo para un subsidio a la investigación que estoy por pedir. Burocracia de segundo nivel.

En el tercer nivel de burocracia, y tercero en orden de urgencias, corregir un borrador de un trabajo para enviárselo a unos colegas canadienses.

De ahí a “pensar”… Bueno, se va pareciendo de a poco. Capaz pueda llegar esta semana.

La Aritmética de Peano

Don Giuseppe Peano publicó en 1889 un libro que incluía una axiomatización de los números naturales $\N$, teniendo algunos antecedentes que cualquier usuario de Wikipedia puede averiguar. Esencialmente, son los siguientes:

1.
Hay un elemento distinguido $0\in\N$.
2.
Hay una función inyectiva $S:\N\to\N$, llamada sucesor, tal que $0$ no está en la imagen de $S$.
3.
(Inducción) Si $P$ es un subconjunto de $\N$ tal que:

1.
$0$ pertenece a $P$.
2.
Para todo $m\in\N$, si $m$ pertenece a $P$, entonces $S(m)$ pertenece a $P$.

Entonces todo $n\in\N$ está en $P$.

Un primer ejercicio para entender Inducción consiste en probar que la imagen de $S$ es $\N\sm\{0\}$.

En algunos textos, se define a $\N$ como el “menor conjunto inductivo”, y para ello asumen previamente la existencia del cuerpo $\R$. Esto no es muy elegante que digamos; los axiomas de arriba tienen elegancia palaciega, pero ello no quita que en un palacio barroco se pueda poner gran cantidad de mugre bajo la alfombra. Más adelante, trataremos de ver cuál es la “suciedad” que nos esconde Peano. Continue reading →

Juegos y De Morgan

Comencemos con la definición de límite de primer año de la facultad: $\lim_{x\to 0} f(x) = l$ si y sólo si \[ \forall \ep >0 \exists \del >0 \forall x : 0< |x|< \del \ent |f(x)-l|< \ep. \] De hecho, es una definición complicada (medida en cuantificadores alternados, $\forall\exists\forall$; ninguna natural supera los cinco). Por eso, es más conveniente manejarla jugando.
Continue reading →

Bernstein

[bibshow template=pst-es-bibshow process_titles=0 sort=author order=asc] Felix Bernstein ha dado su nombre a diversos resultados (insisto, diversos: desde la Teoría de Conjuntos a la genética). Forma, por ejemplo, una tríada junto a Cantor y Schröder en el teorema que prueba que la relación de comparación de cardinales es antisimétrica. Pero quiero dedicarme en este post a los “conjuntos de Bernstein”. Continue reading →

Lecturas iniciales en Teoría de Conjuntos

En sólo un día y medio comenzará el Congreso Monteiro, y con la suerte de tener el marco de un nutrido menú de charlas plenarias muy interesantes, también comenzará mi pequeño curso sobre el Axioma de Martin ($\MA$).

En la web del congreso están subidas las notas del curso, que esencialmente contienen los últimos posts del blog sobre el tema. Como un extra, quise cerrarlas con algunas recomendaciones de lectura; o más bien, mis pareceres al ver algunos libros. Se las comparto a continuación. Continue reading →

Aplicaciones del Axioma de Martin

Como prometimos, veremos a continuación algunas aplicaciones del Axioma de Martin. Recordemos que $\CH$ implica (o más bien, “trivializa”) a $\MA$. El Axioma de Martin comparte varias consecuencias de $\CH$, pero por razones distintas. Donde $\CH$ obliga a varias familias a tener cardinal $2^{\ale0}$ por “falta de lugar” (no hay cardinales entre $\ale0$ y $2^{\ale0}$), $\MA$ lo hace porque muestra que dichas familias son muy “ricas”. Volveremos sobre esto. Continue reading →