Tag Archives: Teoría de Conjuntos

Posts on basic set theory. In Spanish

Congreso “Dr. Antonio Monteiro” 2017

XIII Congreso MonteiroDel 31 de mayo al 2 de junio de 2017 se realizará en la ciudad de Bahía Blanca el XIII Congreso “Dr. Antonio Monteiro”, dedicado a Lógica en esta edición. Asimismo, habrá sesiones de comunicaciones temáticas en todas las áreas (Álgebra, Análisis, Geometría, Probabilidad y Estadística, Lógica y Matemática Aplicada).

Esta es una ocasión muy especial para mí porque daré un minicurso (de aproximadamente 4 horas) sobre un tema de Teoría de Conjuntos: el Axioma de Martin. Por ahora sólo puedo compartir el resumen del cursito, y con un poco más de tiempo contaré más sobre el tema (ya lo prometí en otro post). De hecho, gran parte del material está en un apunte del curso que di el año pasado (aún en edición), pero hay que adaptarlo para que tenga sentido para un minicurso (que es, más o menos, ¡el mismo trabajo que para adaptarlo para la web!).

A continuación, el resumen:

El enunciado del Axioma de Martin (MA) involucra conjuntos parcialmente ordenados y afirma la existencia de subconjuntos “genéricos” de los mismos. Es una consecuencia de la Hipótesis del Continuo de Cantor, y como ella es independiente del resto de los axiomas usuales de la Teoría de Conjuntos (o “la matemática”, dependiendo del punto de vista). Discutiremos aplicaciones de MA a problemas combinatorios, de Teoría de la Medida muy básicos y aritmética cardinal. Sin embargo, el mayor interés en MA radica en que sus preliminares coinciden en gran medida con los de la técnica de forzamiento (forcing), introducida por Cohen en 1963 y que sigue siendo la herramienta más importante de investigación en Teoría de Conjuntos.

¡Espero verlos por ahí!

Exitoso fin de curso

El miércoles pasado terminamos con el curso Teoría de Conjuntos que dicté en FaMAF–UNC. Estoy muy contento por el resultado, y felicito a los “supervivientes” que llegaron hasta el final.

Una característica de este curso es que abordamos algunos temas que (hasta donde llega mi conocimiento) no se incluyen en los programas de otros similares que se hayan dictado en el país. Entre ellos puedo enumerar:

  • el desarrollo de inducción y recursión independientemente del Axioma de Partes;
  • una introducción al Axioma de Martin usando características cardinales del continuo;
  • el estudio de subconjuntos cerrados no acotados (club) y estacionarios de cardinales regulares; y por último
  • los resultados de Ulam sobre el problema de la medida de Lebesgue que motivaron la definición de los cardinales medibles.

La importancia técnica del primer ítem radica en que hace posible definir la noción de rango de un conjunto (una medida de complejidad) y la aritmética ordinal sin apelar al axioma que garantiza la existencia del conjunto de partes de cualquier conjunto. Esto tiene aplicaciones en las pruebas de independencia, igual que el segundo ítem. Sobre este último y el tercero quisiera extenderme en otro momento. Quisiera dedicar el resto de este post al cuarto ítem, porque muestra una de las tantas conexiones ocultas entre el trabajo fundacional y la matemática tradicional. Continue reading →

Set partition, from Wikimedia Commons

Brevísimo panorama de la Teoría de Conjuntos

Como parte de un plan de trabajo que debí presentar recientemente, incluí una cortísima reseña sobre teoría de conjuntos. Aprovecho el trabajo hecho para compartirla por aquí.

La Teoría de Conjuntos (TC) tiene un doble rol en la matemática: es a la vez su fundamento y dentro de ella es un área de investigación vigente.

En su primera faceta, la TC surgió de entre varios enfoques alternativos (teoría de tipos y el intuicionismo) como respuesta a las contradicciones internas (antinomias) que sacudieron las bases de la matemática a principios del siglo XX. Con el tiempo se estableció como la opción que más se ajustaba a la práctica matemática usual, cristalizándose en los axiomas de Zermelo y Fraenkel con Elección ($\ZF + C = \ZFC$). Continue reading →

Modelos del Universo

Después de reflexionar un rato sobre las pruebas de independencia en Teoría de Conjuntos que usan el método de “forzamiento” o forcing, una conclusión que se puede sacar es que no es tan anti-intuitivo poder agregar un conjunto nuevo, i.e., que no se pueda obtener a partir de los ya existentes usando las operaciones usualmente aceptadas de definición de conjuntos. Por ejemplo, no nos produce ninguna inquietud tomar un anillo arbitrario $k$ y adjuntarle un elemento trascendente sobre él, obteniendo $k[x]$.
Continue reading →

Teoría de conjuntos ingenua

Abstract. I’ll discuss one view of the naïve-axiomatic dichotomy in Set Theory. My claim is that one leaves the “naïve” world when first order logic (or put differently, the possibility of different models of ZFC) becomes explicit.

En muchas ocasiones se utiliza el término teoría de conjuntos ingenua; incluso el libro de Halmos [1] se llama así.

Continue reading →

Anti-Elección

El Axioma de Elección (AC, por sus siglas en inglés) dice que dada una familia $\calF$ de conjuntos no vacíos, puedo elegir un elemento de cada uno. Hay varias maneras equivalentes de formular esto más precisamente:

  • Hay una función $f$ tal que $f(A)\in A$ para todo $A\in\calF$;
  • (si los conjuntos de $\calF$ son disjuntos) Hay un conjunto $C$ tal que su intersección con cada $A\in\calF$ es un singulete;
  • etcétera.

Continue reading →

Problemas señeros (II)

Abstract. This is the second post dedicated to elementary problems with a set-theoretic solution. We discuss the impossibility of an infinite descending chain of sets $\{X_j\}_{j}$ such that $\P(X_{n+1})=X_n$. This is an exercise in Kunen [2].

El logaritmo no se puede iterar infinitamente

Muy fácil: números reales, operaciones usuales. Específicamente, operaciones que achican. Por ejemplo, “restar 1”. Desde que se inventaron los enteros, nadie teme iterar la operación resto-uno. Es decir, empezando en cualquier número (e.g. el 4) puedo aplicar la operación resto-uno arbitrarias veces y obtengo un resultado significativo. Incluso, infinitamente: puedo armarme una sucesión
\[x_0 \doteq 4 \qquad x_{n+1} \doteq x_n – 1,\]
que fácilmente enumeramos así: $4, 3, 2, 1, 0 , -1, -2,\dots$. Continue reading →

Problemas señeros (I)

Abstract. In this series of posts I’ll discuss problems that can be posed in an elementary way but the only way to solve them (to the best of my knowledge) is to develop some set theory. This post is dedicated to a problem appearing in Fraenkel’s Set Theory [3], that states that you can change the iso type of any total order by adding just one point. The solution depends on well orders, which I consider a part of the theory of sets.

Leyendo diversas fuentes, encontré dos problemas elementales cuya solución involucra desarrollar algo de Teoría de Conjuntos “seria”. En este post plantearé uno de ellos.

Cómo romper un orden total

Un orden total es un conjunto $L$ con una relación “$<$” irreflexiva, transitiva, y para la cual vale tricotomía: se da alguna de $x<y$, $x = y$ ó $x>y$ para cualquier par $x,y$ en $L$.
Continue reading →