Tag Archives: ordinals

Problemas señeros (II)

Abstract. This is the second post dedicated to elementary problems with a set-theoretic solution. We discuss the impossibility of an infinite descending chain of sets $\{X_j\}_{j}$ such that $\P(X_{n+1})=X_n$. This is an exercise in Kunen [1].

El logaritmo no se puede iterar infinitamente

Muy fácil: números reales, operaciones usuales. Específicamente, operaciones que achican. Por ejemplo, “restar 1”. Desde que se inventaron los enteros, nadie teme iterar la operación resto-uno. Es decir, empezando en cualquier número (e.g. el 4) puedo aplicar la operación resto-uno arbitrarias veces y obtengo un resultado significativo. Incluso, infinitamente: puedo armarme una sucesión
\[x_0 \doteq 4 \qquad x_{n+1} \doteq x_n – 1,\]
que fácilmente enumeramos así: $4, 3, 2, 1, 0 , -1, -2,\dots$. Continue reading →

Ordinales (III)

Abstract. This is the last post in the informal series on ordinals. We give von Neumann’s definition, and show how arithmetical operations can be defined on ordinals by using recursion. Finally we give a property of well ordered chains of subsets of ${\mathbb N}$ that is not shared by ordinary chains.

Ordinales a la von Neumann

La forma más cómoda de referirse a un tipo de isomorfismo (de cualquier cosa) es ponerse de acuerdo de antemano y elegir representantes para cada familia de objetos isomorfos. La elección “canónica” de representantes de tipos de buenos órdenes se debe a von Neumann, y su particularidad es que sólo utiliza conjuntos y la relación de pertenencia. Continue reading →

Ordinales (II)

Abstract. This is the second post about ordinals. In the first one I discussed well-orders and some countable examples. Now we’ll get an eagle’s view on induction and recursion.

Inducción y recursión en conjuntos bien ordenados.    La principal utilidad de los conjuntos bien ordenados es que para ellos valen los principios de inducción y de definición por recursión: Continue reading →

Ordinales (I)

Abstract. This is the first post of a series concerning ordinals. I start by motivating their need by means of Cantor-Bendixson derivative, and then develop some of the basic concepts (induction, recursion, arithmetic).

Comenzaré discutiendo una operación sobre los subconjuntos de un espacio topológico. Es en algún sentido dual a la clausura, porque en vez de agrandar, achica.

Una Derivada Topológica.   

Definición 1 Sea $X$ espacio topológico. La derivada de Cantor-Bendixson de $X$ es $X’\mathrel{\mathop:}= \{x\in X : x \text{ no es aislado}\}$.

De hecho, aplicar la clausura a un conjunto le agrega todos los puntos de acumulación, y aplicarla a un conjunto cerrado no hace nada. En cambio, la derivada de Cantor-Bendixson sólo deja los puntos de acumulación y se puede aplicar varias veces y obtener cosas distintas cada vez. Para no escribir cosas como $ {X'{}'{}'{}'{}'{}'{}’}$, definimos:

$ \displaystyle X^{(0)}\mathrel{\mathop:}= X; \qquad X^{(n+1)}\mathrel{\mathop:}= \bigl(X^{(n)}\bigr)’.$

Notemos que esta derivada es decreciente, $ {X^{(n)}\supseteq X^{(n+1)}}$ y que cualquiera sea $ {X}$, $ {X’}$ es cerrado.

Ejercicio 1 Probar lo anterior, y encontrar $ {X\subseteq {\mathbb R}}$ tal que $ {X’}$ y $ X'{}’$ sean distintos. (¿Y que $ {X'{}’\neq X^{(3)}}$? ¿Etcétera?)

En general, para cada $n$, hay subconjuntos $X$ de los reales tales que todos los $X^{(j)}$ son distintos con $j< n$. Más aún, hay un $X$ tal que $X^{(n)}$ es una sucesión infinita estrictamente decreciente. Continue reading →