Imagino que casi cualquiera que haya pasado por este blog estará al tanto de que hay problemas en Teoría de Conjuntos que son independientes de los axiomas actualmente aceptados ($\mathit{ZFC}$). El más famoso, por lejos, es la
Hipótesis del Continuo ($\mathit{CH}$): Todo subconjunto no numerable de $\mathbb{R}$ es biyectivo con $\mathbb{R}$.
El cardinal de $\mathbb{N}$ se escribe $\aleph_0$ y se puede probar que hay un mínimo cardinal no numerable, $\aleph_1$. El cardinal de $\mathbb{R}$ es igual al cardinal de todas las funciones de $\mathbb{N}$ en $2=\{0,1\}$, y por ello lo llamamos $2^{\aleph_0}$, o bien $\mathfrak{c}$ (por “el continuo”). Como $\mathbb{R}$ no es numerable, tiene subconjuntos de tamaño $\aleph_1$. Por tal motivo, la forma más cortita de enunciar $\mathit{CH}$ es escribir $2^{\aleph_0} =\aleph_1$: no hay cardinales entre el de $\mathbb{N}$ y el de $\mathbb{R}$. Continue reading