En una serie de posts de Facebook, un compañero de la facultad comentaba sobre la posibilidad de que la Conjetura de Goldbach sea independiente de los axiomas de la matemática. Yo creo que no es el caso, y supongo que los expertos que conocen de ambos temas coinciden conmigo, pero de todos modos es interesante que surja esta discusión.
En algún momento, se hizo una comparación con la geometría plana:
El caso de la geometria euclidea o no euclidea se trató porque justamente el quinto “axioma” no era tan necesario para describir una geometría global. Pero no es que las matemáticas vayan a ser distintas!
Es decir, puede haber varias geometrías (euclídeas o no) pero sólo una matemática, la verdadera. Sin embargo, los “nuevos axiomas” (como los que se presentan en este artículo de Quanta del año 2013) abren la posibilidad de elegir entre “dos matemáticas” distintas: una, en la que el universo matemático tiene cierta “canonicidad” (es una generalización del “universo constructible”, también desarrollado por Gödel); y otra, en la que el universo admite una propiedad de “completitud” (generalización del Teorema de Categoría de Baire).
En el primero vale la Hipótesis del Continuo; en el segundo, su negación. ¿Cuál es la verdadera?
depende de lo que aceptemos? o depende del universo?
Justamente: depende. Por eso hay que tener cuidado con el término “verdadero” en matemática. Hay objetos sobre los que hemos construido gran intuición (v.g., $\N$ y la aritmética), y es casi imposible hacer algún tipo de matemática sin creer en la “existencia” (mejor: consistencia) de los números naturales. Pero no mucho más allá: nuestro ojo matemático no ha podido ver de forma definida, o completa, otros objetos. Entender las “verdades” del objeto $\P(\P(\N))$ parece escapar (por ahora) de nuestro entendimiento; tanto, que algunos plantean que dicho conjunto de partes no existe. Por otro lado, es sorprendente la cantidad de matemática que habla (en el fondo) solamente de la estructura $(\N,\P(\N),+,\cdot)$; esto es el punto de la matemática reversa [1].
Un conjunto de axiomas es consistente si a partir de ellos no se deduce una contradicción, es decir, una expresión y su negación. Mediante una fina codificación inventada por Gödel, un conjunto de axiomas que permita expresar a la aritmética puede hablar internamente de demostraciones y por ende de consistencia; incluso, puede formular un enunciado $\Phi$ que representa a su propia consistencia. Ahora, su Segundo Teorema de Incompletidud dice que tal conjunto de axiomas no puede probar $\Phi$, i.e. su consistencia, si la tuviera. Pero sí podría probar su inconsistencia; simplemente, mostrando (la codificación de) una demostración que lleva a contradicción. Entonces, la búsqueda definitiva es justamente esa: la de la inconsistencia. Agregando axiomas cada vez más poderosos a los axiomas usuales de la matemática (como los axiomas de “cardinales grandes”), la capacidad de prueba aumenta; en particular, $\ZFC$ junto a cualquier axioma de cardinal grande $\mathit{CG}$ pueden demostrar “$\ZFC$ es consistente”. Decimos entonces que $\ZFC + \mathit{CG}$ tiene más fuerza de consistencia que $\ZFC$.
Y para la búsqueda de axiomas nuevos, cada vez más potentes, hay un máximo absoluto. A partir de la inconsistencia se puede demostrar cualquier cosa. Por eso no nos sirve. Mientras no la alcancemos, por más que subamos por la vertiginosa escalera de los cardinales, nuestra seguridad en nuestros fundamentos ($\ZFC$ y la Aritmética) se acrecentará.
References
- Stephen George Simpson (2009): Subsystems of Second Order Arithmetic. Cambridge University Press, 2009, ISBN: 9780521884396.
