Category: Teaching
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Teoría de conjuntos ingenua
Abstract. I’ll discuss one view of the naïve-axiomatic dichotomy in Set Theory. My claim is that one leaves the “naïve” world when first order logic (or put differently, the possibility of different models of ZFC) becomes explicit. En muchas ocasiones se utiliza el término teoría de conjuntos ingenua; incluso el libro de Halmos se llama…
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Anti-Elección
El Axioma de Elección (AC, por sus siglas en inglés) dice que dada una familia $\calF$ de conjuntos no vacíos, puedo elegir un elemento de cada uno. Hay varias maneras equivalentes de formular esto más precisamente: Hay una función $f$ tal que $f(A)\in A$ para todo $A\in\calF$; (si los conjuntos de $\calF$ son disjuntos) Hay…
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Problemas señeros (II)
Abstract. This is the second post dedicated to elementary problems with a set-theoretic solution. We discuss the impossibility of an infinite descending chain of sets $\{X_j\}_{j}$ such that $\P(X_{n+1})=X_n$. This is an exercise in Kunen . El logaritmo no se puede iterar infinitamente Muy fácil: números reales, operaciones usuales. Específicamente, operaciones que achican. Por ejemplo,…
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Problemas señeros (I)
Abstract. In this series of posts I’ll discuss problems that can be posed in an elementary way but the only way to solve them (to the best of my knowledge) is to develop some set theory. This post is dedicated to a problem appearing in Fraenkel’s Set Theory , that states that you can change…
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Ordinales (III)
Abstract. This is the last post in the informal series on ordinals. We give von Neumann’s definition, and show how arithmetical operations can be defined on ordinals by using recursion. Finally we give a property of well ordered chains of subsets of ${\mathbb N}$ that is not shared by ordinary chains. Ordinales a la von…
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Ordinales (II)
Abstract. This is the second post about ordinals. In the first one I discussed well-orders and some countable examples. Now we’ll get an eagle’s view on induction and recursion. Inducción y recursión en conjuntos bien ordenados. La principal utilidad de los conjuntos bien ordenados es que para ellos valen los principios de inducción y de…
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Ordinales (I)
Abstract. This is the first post of a series concerning ordinals. I start by motivating their need by means of Cantor-Bendixson derivative, and then develop some of the basic concepts (induction, recursion, arithmetic). Comenzaré discutiendo una operación sobre los subconjuntos de un espacio topológico. Es en algún sentido dual a la clausura, porque en vez…
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Los axiomas de la Teoría de Conjuntos
Abstract. Just introducing the ZFC axioms very briefly, with a slight hint of what first-order logic is. Se afirma que toda la Matemática se puede basar en la Teoría de Conjuntos. No voy a dedicar este post a justificar esta afirmación (quizá es un tema que se puede discutir en los comentarios a esta nota),…