Ordinales (I)

Abstract. This is the first post of a series concerning ordinals. I start by motivating their need by means of Cantor-Bendixson derivative, and then develop some of the basic concepts (induction, recursion, arithmetic).

Comenzaré discutiendo una operación sobre los subconjuntos de un espacio topológico. Es en algún sentido dual a la clausura, porque en vez de agrandar, achica.

Una Derivada Topológica.   

Definición 1 Sea $X$ espacio topológico. La derivada de Cantor-Bendixson de $X$ es $X’\mathrel{\mathop:}= \{x\in X : x \text{ no es aislado}\}$.

De hecho, aplicar la clausura a un conjunto le agrega todos los puntos de acumulación, y aplicarla a un conjunto cerrado no hace nada. En cambio, la derivada de Cantor-Bendixson sólo deja los puntos de acumulación y se puede aplicar varias veces y obtener cosas distintas cada vez. Para no escribir cosas como $ {X'{}'{}'{}'{}'{}'{}’}$, definimos:

$ \displaystyle X^{(0)}\mathrel{\mathop:}= X; \qquad X^{(n+1)}\mathrel{\mathop:}= \bigl(X^{(n)}\bigr)’.$

Notemos que esta derivada es decreciente, $ {X^{(n)}\supseteq X^{(n+1)}}$ y que cualquiera sea $ {X}$, $ {X’}$ es cerrado.

Ejercicio 1 Probar lo anterior, y encontrar $ {X\subseteq {\mathbb R}}$ tal que $ {X’}$ y $ X'{}’$ sean distintos. (¿Y que $ {X'{}’\neq X^{(3)}}$? ¿Etcétera?)

En general, para cada $n$, hay subconjuntos $X$ de los reales tales que todos los $X^{(j)}$ son distintos con $j< n$. Más aún, hay un $X$ tal que $X^{(n)}$ es una sucesión infinita estrictamente decreciente.

Tomando $ {{\omega}}$ como símbolo greco-judeo-cristiano de infinito, podríamos definir

$ \displaystyle X^{({\omega})} \mathrel{\mathop:}= \bigcap_{n\in{\mathbb N}} X^{(n)}.$

¿Se puede seguir aplicando $ {(\cdot)’}$? ¿Obtenemos algo nuevo? Sí: existe un subconjunto cerrado $ {\Omega}$ de $ {{\mathbb R}}$ tal que $ {\Omega^{({\omega})}\neq\Omega^{(n)}}$ para todo $ {n\in{\mathbb N}}$ y $ {\bigl(\Omega^{({\omega})}\bigr)’\neq\Omega^{({\omega})}}$. Definimos entonces

$ \displaystyle X^{({\omega}+1)} \mathrel{\mathop:}= \bigl(X^{({\omega})}\bigr)’.$

G. Cantor vio que en un espacio topológico general, este proceso podría aplicarse indefinidamente, e indizó este proceso con los ordinales.

Los ordinales son las “formas posibles” (tipos de isomorfismo) de cierta clase de conjuntos (totalmente) ordenados, los buenos órdenes.

Buenos órdenes.   

Definición 2 Un conjunto bien ordenado $\langle X,\preceq\rangle $ es un conjunto $X$ con una relación de orden (total) $\preceq$ tal que todo $Y\subseteq X$ no vacío tiene elemento mínimo según $\preceq$:

$\displaystyle \forall Y\subseteq X : \exists y\in Y . \forall z\in Y \; (y\preceq z).$

En este caso decimos que $\preceq$ es un buen orden (sobre $X$).

El ejemplo paradigmático de conjunto bien ordenado es $\langle {\mathbb N},\leq\rangle $. Otros ejemplos son los siguientes (Fraenkel, [Fra61]): $\langle \mathbb{Z},\preceq\rangle $, donde $\preceq$ coincide con la relación $\leq$ para pares de números no negativos, se invierte para pares de números negativos, y estipula que todos los números negativos son mayores que todos los positivos: \[ 0, 1, 2, 3, \dots, -1, -2, -3,\dots, \ \ \ \ \ (1)\] El siguiente es un buen orden sobre $\mathbb{Q}^+$: \[ 1, 2, 3, \dots, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \dots, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3},\dots,\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \dots \ \ \ \ \ (2)\] También, de manera trivial, todo conjunto finito totalmente ordenado es un buen orden (incluimos en este caso al conjunto vacío). En nuestra definición estamos suponiendo que el orden $\preceq$ corresponde a una relación de “menor o igual”. Para referirnos al orden estricto usaremos a veces $\prec$ y en general también diremos que $\langle X,\prec\rangle $ es un buen orden (como es usual, $x\prec y$ si y sólo si $x\preceq y$ y $x\neq y$).

Se sigue de la definición que si $\langle X,\preceq\rangle $ es un buen orden entonces para todo $Y\subseteq X$, $\langle Y,{\preceq}\cap (Y\times Y)\rangle $ está bien ordenado. Se obtiene fácilmente:

Proposición 3 $\langle X,\preceq\rangle $ está bien ordenado si y sólo si no existen sucesiones estrictamente $\preceq$-decrecientes infinitas.

Cuidado: la prueba, aunque “obvia”, necesita del axioma de elección.

Finalmente, para decir que dos órdenes tienen la misma forma, necesitamos la siguiente

Definición 4 Un isomorfismo entre dos conjuntos ordenados $\langle X,\preceq\rangle $ y $\langle Y,\trianglelefteq\rangle $ es una función biyectiva $f:X\rightarrow Y$ tal que $a\preceq b \iff f(a)\trianglelefteq f(b)$. Decimos que $\langle X,\preceq\rangle $ y $\langle Y,\trianglelefteq\rangle $ son isomorfos si hay un isomorfismo entre ellos.

Ejercicio 2 Sea $\trianglelefteq$ el siguiente orden en ${\mathbb N}\times\{0,1\}$:

$(a,b)\trianglelefteq (c,d)\iff b< d$, o bien si $b = d$ y $a\leq b$

Convencerse de que $\langle {\mathbb N}\times\{0,1\},\trianglelefteq\rangle $ es isomorfo al orden sobre $\mathbb{Z}$ descripto en (1).

Ejercicio 3 Encontrar 4 buenos órdenes no isomorfos a los anteriores (y no isomorfos entre sí).

…Continuará

Bibliografía

[Fra61] Abraham A. Fraenkel. Abstract Set Theory. Studies in Logic and Foundations of Mathematics. North-Holland, Amsterdam, second edition, 1961.