English version below
Me he vuelto un opositor al Lema de Zorn (ZL). En sí, ZL no tiene nada de malo, y a su favor tiene una enorme fama entre los matemáticos tradicionales. Mi punto es que hay un mundo mejor, y es más barato: se llama “Principio maximal de Hausdorff (HMP)”.
Resumen ejecutivo:
- 1.
- Da lugar a pruebas más cortas.
- 2.
- Tiene un enunciado más corto (y más fácil de recordar).
No habría necesidad argumentar a favor del punto 1, si no fuera que vale en una forma mucho más fuerte: toda prueba utilizando ZL incluye propiamente a una que usa HMP. (Es verdad, exagero. Pero no tanto). Es decir, no sólo son pruebas más cortas sino que requieren un poquito menos trabajo.
El punto 2 habla también de una limitación mía. Siempre olvido las hipótesis de los teoremas. Me acuerdo de muchos, me olvido los detalles. Quizá algunx de lxs lectorxs comparta este mismo problema. Me cuesta incluso acordarme de las de ZL. ¿Qué mejor entonces que un teorema sin hipótesis?
Principio maximal de Hausdorff. Todo poset tiene una cadena maximal.
Ok, hay que saber que un poset es un conjunto parcialmente ordenado, que una cadena es un subconjunto totalmente ordenado, y que es maximal si no está incluida propiamente en otra cadena. Vale para todo poset. Sin restricciones. Todo. Poset.
Salvo lo de la maximalidad, es necesario saber todo esto para ZL. Estaría bueno verlo en acción; tomemos un ejemplo clásico:
$\union\calF$ es LI: supongamos que $v_1,\dots,v_n\in\union\calF$. Luego hay $S_i\in\calF$ tales que $v_i\in S_i$ con $i=1,\dots,n$. Como $\calF$ está totalmente ordenado por $\sbq$, alguno de los $S_i$ incluye a todos los otros, y por ende contiene a todos los $v_1,\dots,v_n$. Luego no puede haber combinación lineal no trivial de ellos que dé $0$.
$\union\calF$ genera: si no lo hiciera, habría un $v\in V$ que es linealmente independiente de $\union\calF$, luego $S_0\defi \union\calF\cup\{v\}$ es LI e incluye propiamente a todos los $S\in\calF$.
Esto quiere decir que $\calF\cup\{S_0\}$ es una cadena que incluye propiamente a $\calF$: absurdo. $\Box$
Como deben conocer, la prueba del Teorema 1 usando ZL requiere ver que $P$ es inductivo, que es el segundo párrafo de la prueba anterior. Ahí se invoca ZL para encontrar un elemento maximal $M$, que viene a cumplir el rol de nuestro $\union\calF$. Y se prueba que $M$ genera argumentando similarmente al tercer párrafo. A mi gusto, la prueba con ZL es una versión retorcida de la que presenté más arriba. Obviamente, es una cuestión subjetiva. Estoy atento a los ejemplos me presenten para revisar mi punto.
Hausdorff Principle is Better
I have become an opponent of the Zorn’s Lemma (ZL). In itself, ZL has nothing wrong, and in its favor it has a huge reputation among traditional mathematicians. My point is that we can find a better world: it is called “Hausdorff maximal principle (HMP)”.
My reasons:
- 1.
- It leads to shorter proofs.
- 2.
- It has a shorter (hence easier to remember) statement.
There would be no need to argue in favor of item 1, but actually even more is true: Any proof using ZL properly includes one that uses HMP. (Alright, I’m exaggerating; but not that much). That is, you get not only shorter proofs but ones that require a bit less of work.
Item 2 tells a little about my own limitations. I always forget hypotheses of theorems. Maybe some of the readers share this problem. It’s hard for me even to remember those of ZL. Then, what can be better than a theorem without hypotheses?
Hausdorff maximal principle. Every poset has a maximal chain.
Ok, you have to know that a poset is a partially ordered set, that a chain is a totally ordered subset, and that the latter is maximal if it is not properly included in another chain. It holds for every poset. No restrictions. Every. Poset.
Save maximality (of chains!), all this is a prerequisite for ZL. Now, it would be good to watch HMP in action. We take a classical example:
$\union \calF $ is LI: Suppose that $ v_1, \dots, v_n \in \union \calF $. Then there are $ S_i \in \calF $ such that $ v_i \in S_i $ for $ i = 1, \dots, n $. Since $ \calF $ is totally ordered by $ \sbq $, one of the $ S_i $ includes all the others, and therefore contains all the $ v_1, \dots, v_n $. Therefore there can be no non-trivial linear combination of them leading to $0$.
$ \union \calF $ spans $V$: If it did not, there would be a $ v \in V$ linearly independent of $ \union \calF $, then $ S_0 \defi \union \calF \cup \{v \} $ is LI and properly includes all $ S \in \calF $.
This means that $ \calF \cup \{S_0 \} $ is a chain that properly includes $ \calF $: Contradiction. $\Box$
As you probably know, the proof of Theorem 2 using ZL requires showing that $ P $ is inductive, which is the second paragraph of the previous proof. After that, ZL is invoked to find a maximal element $ M $, which fulfills the role of our $ \union \calF $. Then it is proved that $ M $ spans $V$ arguing similarly to the third paragraph. To my taste, the proof using ZL is a twisted version of the one I presented above. What do you think about this? I’ll be glad to hear about your examples.
Leave a Reply