Felix Bernstein ha dado su nombre a diversos resultados (insisto, diversos: desde la Teoría de Conjuntos a la genética). Forma, por ejemplo, una tríada junto a Cantor y Schröder en el teorema que prueba que la relación de comparación de cardinales es antisimétrica. Pero quiero dedicarme en este post a los “conjuntos de Bernstein”.
Un subconjunto $B$ de $\R$ es un conjunto de Bernstein si tanto $B$ como su complemento corta a cada cerrado no numerable. Esta propiedad hace que los conjuntos de Bernstein sean bastante fieros, o en términos más finos, “irregulares”. Por ejemplo, tal $B$ no puede ser medible Lebesgue. Veámoslo por el absurdo: si $m(B)=0$, entonces debe haber un cerrado $F\sbq \R\sm B$ de medida positiva, y luego no numerable. Pero esto contradice el hecho de que $F\cap B \neq \emptyset$. Si $m(B) >0$, entonces hay un $F\sbq B$ no numerable. Nuevamente, una contradicción porque $\R\sm B$ debe cortar a $F$.
A continuación vamos a construir un conjunto de Bernstein. Lo haremos intuitivamente, o más bien, descuidadamente, y luego veremos qué necesitamos para que el argumento realmente funcione.
No es dificil ver que hay tantos abiertos en $\R$ como puntos; luego hay tantos cerrados no numerables como elementos de $\R$ (puesto que todo intervalo $[a,\infty)$ es un cerrado no numerable). Entonces podemos enumerar todos los cerrados no numerables en una lista $\{F_i\}_{i\in I}$, donde el cojunto de índices $I$ es biyectivo con $\R$.
Para comenzar a construir el conjunto de Bernstein, sea $i_0\in I$ y elijamos arbitrariamente dos puntos distintos $a_{i_0}$ y $b_{i_0}$ en $F_{i_0}$. Y luego procedamos recursivamente: suponiendo que ya definimos los $a_j$ y $b_j$ con $j\in J\subset I$, tomemos $i\in I\sm J$ y elijamos arbitrariamente dos puntos distintos $a_i,b_i$ en \[ F_i\sm \bigl(\{a_j : i \in J\}\cup\{b_j : i \in J\}\bigr). \ \ \ \ \ (1)\] Cuando terminemos con $I$, $\{a_i : i\in I\}$ será un conjunto de Bernstein (puesto que es disjunto de $\{b_i : i\in I\}$ por construcción y ambos cortan cada cerrado no numerable).
Presentaré los requisitos de esta construcción como algunas “objeciones”.
¿Cómo elijo el “siguiente” $i$ a ser considerado en el paso recursivo? Ésta es la pregunta más sustancial, puesto que para que una construcción recursiva como la de arriba termine con seguridad (i.e., agotemos $I$), sería conveniente que dado $J\subset I$ haya un $i$ unívocamente determinado para continuar. Si ponemos a $I$ un buen orden $< $, esto es fácil. Nuestro primer índice $i_0$ será el menor elemento, y siempre podremos considerar como el siguiente índice al “menor $i$ que no hayamos considerado” (i.e., $\min I\sm J$).
¿Por qué el conjunto en (1) tiene al menos dos elementos? La respuesta se obtiene usando un poco de Teoría de Conjuntos Descriptiva. En ella se prueba que
(*) Todo cerrado no numerable es biyectivo con $\R$.
(o dicho de otro modo, todo cerrado de $\R$ satisface la Hipótesis del Continuo). Como $J$ no es todo $I$, entonces el conjunto $\{a_j : i \in J\}\cup\{b_j : i \in J\}$ no es biyectivo con $\R$, luego hay infinitos puntos en la diferencia (1).
Un momento… ¿Acaso nunca $J\subset I$ será biyectivo con $\R$? Hay maneras de elegir “mal” el buen orden $\lb I,< \rb$. Por ejemplo, bien-ordenemos $(-\infty,0)$ y $[0,\infty)$ por separado y pongamos esos dos buenos órdenes uno “abajo” del otro. Luego para todo $r$ no negativo, el conjunto de los predecesores de $r$ será biyectivo con $\R$.
De todas las formas de bien-ordenar un conjunto $I$, hay una que es la “más económica”, de manera que para todo $i\in I$, el conjunto de los predecesores de $i$ nunca es biyectivo con $I$. Un cardinal es un conjunto que está bien ordenado de esta manera minimal. Y para todo conjunto, gracias al Axioma de Elección, hay un buen orden así. En particular, para $\R$, su cardinal se llama $2^{\ale0}$ y entonces el argumento de arriba se sintetiza de la siguiente manera:
Enumeramos todos los cerrados no numerables en tipo de orden $2^{\ale0}$ y tomamos, recursivamente, $a_\al,b_\al$ distintos en
\[F_\al\sm \bigl(\{a_\be :\be< \al\}\cup\{b_\be : \be< \al\}\bigr).\]
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