Lecturas iniciales en Teoría de Conjuntos

En sólo un día y medio comenzará el Congreso Monteiro, y con la suerte de tener el marco de un nutrido menú de charlas plenarias muy interesantes, también comenzará mi pequeño curso sobre el Axioma de Martin ($\MA$).

En la web del congreso están subidas las notas del curso, que esencialmente contienen los últimos posts del blog sobre el tema. Como un extra, quise cerrarlas con algunas recomendaciones de lectura; o más bien, mis pareceres al ver algunos libros. Se las comparto a continuación.

Naive Set Theory ^[1]. Es una primera introducción, muy básica, a la Teoría de Conjuntos, e incluye un desarrollo de cómo representar los objetos matemáticos usuales usando sólo conjuntos.

Notes on Set Theory ^[2]. Un libro básico pero a la vez muy completo. Da un panorama desde cero, con buena discusión del universo de conjuntos y versiones alternativas, como por ejemplo las que admiten átomos o “urelementos” (en la teoría de conjuntos estándar $\ZFC$ todo es un conjunto) o conjuntos mal fundados (por ejemplo, que cumplen $x = \{x\}$; éstos no son admitidos en $\ZFC$). Otro gran punto a favor de este libro es que introduce el hermoso tema de la Teoría de Conjuntos Descriptiva.

Abstract Set Theory ^[3]. Este libro fue escrito por Abraham Fraenkel; la “F” de $\ZFC$ es por este señor. Este libro es bastante “charlado”, para una amplia audiencia matemática, que desarrolla el tema mediante infinidad de ejemplos. Es muy interesante, pero a la vez un poquito lento si uno busca profundizar.

Discovering Modern Set Theory. A diferencia de los anteriores, este va a un poco más al punto. El Volumen I ^[4] se presta para el auto-aprendizaje, si se tiene la disciplina de hacer todos los ejercicios que pide el libro (cada dos párrafos hay uno). Diría que es mi favorito entre los básicos. En el Volumen II ^[5] hay un surtido de diversos temas y es el único de los libros introductorios que aborda $\MA$.

Teoría axiomática de conjuntos ^[6]. Esta excelente introducción en castellano está compuesta por las notas de un curso que dicta Roberto Cignoli en la Universidad de Buenos Aires. Incluye además algunos temas más avanzados, como la introducción a los modelos internos de $\ZF$, el tratamiento de la absolutez y la prueba de la consistencia relativa de $\AC$ usando el modelo $\mathit{HOD}$ de los conjuntos definibles por ordinales hereditariamente. Está disponible en aquí.

“El Kunen” ^[7]. Este libro, cuyo nombre serio es Set Theory, es la puerta grande para empezar a estudiar Teoría de Conjuntos seriamente. Uso una denominación tan informal porque es el libro para iniciar el estudio de las pruebas de independencia; por ello, es casi como un miembro de la familia.

References

1. P. R. Halmos (1960): Naive Set Theory. Springer, 1960, ISBN: 9780387900926.
2. Y. N. Moschovakis (1994): Notes on Set Theory. Springer-Verlag, 1994, ISBN: 9783540941804.
3. Abraham A. Fraenkel (1961): Abstract Set Theory. Second, North-Holland, Amsterdam, 1961.
4. Winfried Just and Martin Weese (1996): Discovering Modern Set Theory. I. American Mathematical Society, 1996.
5. Winfried Just and Martin Weese (1997): Discovering Modern Set Theory. II. American Mathematical Society, 1997.
6. Roberto Cignoli (2016): Teoría axiomática de conjuntos: Una introducción. Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, 2016, ISSN: 1851-1317.
7. K. Kunen (2011): Set Theory. Second, College Publications, 2011, ISBN: 9781848900509, (Revised edition, 2013).