En un post anterior dimos las definiciones básicas de conjuntos densos y filtros genéricos en conjuntos parcialmente ordenados (“posets”), y enunciamos el Teorema de Existencia de Filtro genérico, que copiamos a continuación:
La prueba es una construcción recursiva y depende de $\AC$. La siguiente preocupación es saber cuán ajustadas son las hipótesis de este teorema. Por ejemplo, ¿vale si la familia $\mathcal{D}$ no es contable? Respuesta rebuscada: sin salirse del Universo, no.
Necesitaremos un par de definiciones más para no repetirnos una y otra vez. (Quizá inapropiado para un blog, extremadamente necesario para la matemática).
- 1.
- $A\sbq \mathbb{P}$ es una anticadena si sus elementos son incompatibles dos a dos (no hay condición que extienda a dos elementos distintos de $A$ simultáneamente).
- 2.
- $\mathbb{P}$ satisface la condición de cadenas contables o bien “es ccc” si toda anticadena en $\mathbb{P}$ es contable.
Notemos que el poset $\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,J)$ es muy “ancho”; su subconjunto $A\defi\{\{\lb 0,j\rb \} :j \in J\}$ es una anticadena no numerable.
Si no hubiera tal anticadena, aún podría existir un filtro genérico.
Luego el Teorema 1 implica $\MA(\ale0)$ (de hecho, sin la hipótesis de ccc).
$2^{\ale0}$ es el cardinal del conjunto de todas las funciones de $\N$ en $\N$. Luego, la interpretación de este resultado es la siguiente: suponiendo $\MA(\ka)$, ninguna familia de funciones de $\N$ en $\N$ indizada por un conjunto $K$ de cardinal $\ka$, puede contener a todas.
Para ello, fijemos $j$. Como $G$ es $\mathcal{D}$-genérico, hay un $p\in G\cap H_j$. Luego hay $n\in\N$ tal que $p(n)\neq f_j(n)$. Como $p\sbq f$, $f(n)\neq f_j(n)$, y en conclusión $f\neq f_j$. $\Box$
Finalmente podemos enunciar el Axioma de Martin:
($\MA$) Para todo $\ka< 2^{\ale0}$, se da $\MA(\ka)$.
El Axioma de Martin logra, en muchas circunstancias, extender propiedades que sabemos que valen para familias contables a cualquier familia de cardinal menor al de $\R$. En particular, tiene consecuencias interesantes para las características cardinales del continuo.
Para terminar, consideremos el comentario “rebuscado” de más arriba y el Ejemplo 1, para el caso particular $J\defi \R$. Fuera de joda, no puede haber una suryección de $\N$ en $\R$…, ¿o sí?
La técnica de forcing permite simular que construimos un filtro genérico $G$ para $\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\R)$ que corta a todos sus subconjuntos densos. Ese filtro, y la función $f_G$ asociada a él no pueden estar en nuestro universo de conjuntos actual $V$; podemos pensar que es una función “imaginaria”. Pero $f_G$ pertenece al menor universo que incluye a $V$ y contiene a $G$, $V[G]$, y es una suryección de $\N$ en $\R^V$ (la versión de $V$ de los números reales). Decimos que en la extensión genérica $V[G]$, $|\R|$ colapsa y $\R^V$ pasa a ser un subconjunto numerable de $\R^{V[G]}$.
Sólo una punta del ovillo, seguiré con las provocaciones en posts subsiguientes.
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