Después de reflexionar un rato sobre las pruebas de independencia en Teoría de Conjuntos que usan el método de “forzamiento” o forcing, una conclusión que se puede sacar es que no es tan anti-intuitivo poder agregar un conjunto nuevo, i.e., que no se pueda obtener a partir de los ya existentes usando las operaciones usualmente aceptadas de definición de conjuntos. Por ejemplo, no nos produce ninguna inquietud tomar un anillo arbitrario $k$ y adjuntarle un elemento trascendente sobre él, obteniendo $k[x]$.

Escribiendo esto es imposible dejar de notar que el universo $V$ de todos los conjuntos es un anillo booleano con las operaciones de diferencia simétrica e intersección. Luego, la pregunta es si es lícito “proclamar” un $x$ y construir $V[x]$. Si realmente $V$ es todo lo que hay, esto no tendrá sentido desde un punto de vista fundacional. La clave para salir de este dilema, justamente, no es el forcing. De hecho, en el contexto del problema general, el forcing fue creado por Paul J. Cohen para saltar el obstáculo (formidable) de conseguir un elemento “trascendente” $x$ (que técnicamente se denomina genérico, tal como en categoría de Baire) y además, en una burda caricatura del desarrollo, construir “formalmente” $V[x]$. Sin embargo, las herramientas técnicas que permiten probar la “existencia” de $V[x]$ son previas.

La clase $V$ de todos los conjuntos no es un conjunto, pero puede ser construida en etapas parciales que sí lo son. Estas etapas forman la jerarquía acumulativa de conjuntos, y comienza con el conjunto vacío, aplicando sucesivamente la operación de tomar subconjuntos:

$$V_0\defi \emptyset,$$

$$V_{\al+1} \defi \P(V_\al).$$

Este proceso no acaba con los números naturales como índices, así que al agotar el proceso de tomar partes, unimos todo lo obtenido y proseguimos sobre todos los ordinales. En conclusión, cuando $\ga$ es un ordinal límite estipulamos:

$$V_{\ga} \defi \textstyle\bigcup\{V_\be : \be <\ga\}.$$

El Axioma de Fundación (o regularidad) asegura que $V = \bigcup_{\al\in\On} V_\al$. La herramienta a la que me quiero referir ahora es el Principio de Reflexión, probado por Montague en 1961, que enuncia cómo convergen estos $V_\al$ al universo $V$.

Teorema: Para cada fórmula de primer orden $\phi(x_1,\dots,x_n)$  y conjuntos $a_1,\dots,a_n$, hay una cantidad no acotada de ordinales $\al$ tales que $V_\al$ satisface $\phi(a_1,\dots,a_n)$ si y sólo si ésta se satisface en el universo.

Recordemos que una fórmula de primer orden pueden contener los cuantificadores $\forall$ y $\exists$, así que podemos hablar de propiedades bastante complejas. Un ejemplo abstracto de esto (cuando no hay parámetros $x_i$) es el de los mismos axiomas de la teoría de conjuntos. Para cualquier familia finita de los mismos, podemos tomar su conjunción como la $\phi$ de arriba y entonces concluimos que hay numerosos conjuntos que cumplen esos axiomas. De forma más espectacular, hay un conjunto (propiamente) $W$ que modela toda la matemática probada hasta la actualidad.

Volviendo al hilo de nuestro razonamiento, el Principio de Reflexión nos provee de un conjunto $V_\al$ que satisface todos los axiomas que necesitemos para cada situación particular. La segunda herramienta, que enuncia otro fenómeno de reflexión, es a la vez más antigua y más sorprendente.

Para aplicar la construcción de Cohen, es necesario aplicar una versión del teorema de categoría de Baire. Como recordarán, este teorema dice (en una de sus variantes) que la intersección de una sucesión de abiertos densos en un espacio métrico completo es no vacía. Pero este teorema no vale si uno toma una cantidad no numerable de abiertos densos. Análogamente, el forcing requiere un conjunto contable $M$ para poder encontrar el elemento genérico $x$ y luego construir la extensión $M[x]$. Esto es exactamente lo que nos asegura el Teorema descendiente de Löwenheim, Skolem y Tarski, que enunciamos para el caso de estructuras con un lenguaje contable (i.e., cantidad contable de operaciones y relaciones distinguidas):

Teorema. Toda estructura de primer orden $W$ contiene una subestructura elemental contable $M$. Es decir, $M$ es cerrado por las operaciones de $W$, respeta las relaciones definidas y para cada fórmula $\phi$ y parámetros $a_1,\dots,a_n\in M$, $M$ satisface $\phi(a_1,\dots,a_n)$ si y sólo si ésta se satisface en $W$.

En el caso de modelos de la teoría de conjuntos, el lenguaje es siempre $\{\in\}$, así que se cumple la hipótesis.

Es decir, que si aplicamos este teorema al $W$ de arriba obtendremos un conjunto numerable $M$ cuyos elementos son conjuntos, y junto a la relación $\in $ satisface todas las propiedades de conjuntos utilizadas en toda la historia de la matemática.

La paradoja de Skolem enuncia que en $M$ podemos probar que existe el conjunto de los números reales, y que es no numerable. Sin embargo, sólo puede haber a lo sumo una cantidad contable de elementos de $\R$, puesto que $M$ es contable.

El párrafo anterior ilustra lo que, a mi criterio, son las mayores dificultades que puede tener un matemático para entender las pruebas de independencia.