Anti-Elección

El Axioma de Elección (AC, por sus siglas en inglés) dice que dada una familia $\calF$ de conjuntos no vacíos, puedo elegir un elemento de cada uno. Hay varias maneras equivalentes de formular esto más precisamente:

• Hay una función $f$ tal que $f(A)\in A$ para todo $A\in\calF$;
• (si los conjuntos de $\calF$ son disjuntos) Hay un conjunto $C$ tal que su intersección con cada $A\in\calF$ es un singulete;
• etcétera.

Es vox populi que esta función $f$ (este conjunto $C$) no va a ser “definible”, por lo menos no de una manera obvia.

Hay otra manera de generalizar la idea de elección que presentamos en el primer párrafo. Es eliminando la referencia a la familia $\calF$: “Puedo elegir un elemento de cada conjunto no vacío”. Ahora, formalizar esto es mucho más interesante. Principalmente porque no se puede. ¿Por qué? Intuitivamente, lo que necesitaría es una “función” $F$ que cumpla que $F(A)\in A$ para todo conjunto no vacío $A$. De buenas a primeras, esta “función” no es una función en el sentido conjuntista de la palabra; si fuera un conjunto de pares, su dominio sería un conjunto (ejercicio). Pero el dominio de $F$ es la clase de los conjuntos no vacíos. Si fuera un conjunto, su unión con $\{\emptyset\}$ ( la clase de todos los conjuntos) sería un conjunto: absurdo.

Luego, la única manera de poder decir que tenemos una $F$ así es dando una definición $\phi(x,y)$ de ella y luego enunciar: “$\phi$ define una función, y además $A\neq\emptyset \y \phi(A,a) \implies a\in A$”. Este principio se conoce como elección global y es más fuerte que el axioma de elección común. En particular, con él se puede demostrar que hay un buen orden de todo el universo de los conjuntos (cosa que no es implicada por AC estándar). Aquí, la definición $\phi$ es una fórmula de primer orden que sólo utiliza los símbolos lógicos usuales y la pertenencia $\in$.

El problema inverso al planteado por AC (en sus dos versiones) sería encontrar, dado un conjunto $A$, algo que no sea elemento de $A$; es decir encontrar un $x$ tal que $x\notin A$. Es una curiosidad elemental que esta propiedad de anti-elección se sigue, en su forma global, de los otros axiomas. De hecho, es una conclusión de Extensionalidad y Comprensión (o Separación). La fórmula que define la función $R$ que cumple con $R(A)\notin A$ para todo $A$ es la siguiente:
\[ \phi(x,y) \doteq \forall z: \ z\in y \iff z\in x \y z\notin z.\]

Dicho de otro modo, la función $R$ (de Russell) está definida así:
\[ R(A) \doteq \{z\in A : z\notin z\},\]
y es un ejercicio elemental probar que cumple con lo requerido.

El Axioma de Fundación o Regularidad, que no se usa sino para simplificar los modelos de la Teoría de Conjuntos prohíbe $A\in A$ para cada $A$, así que en caso de asumirlo, la función $R$ es exactamente la identidad.