Abstract. This is the first post of a series concerning ordinals. I start by motivating their need by means of Cantor-Bendixson derivative, and then develop some of the basic concepts (induction, recursion, arithmetic).

Comenzaré discutiendo una operación sobre los subconjuntos de un espacio topológico. Es en algún sentido dual a la clausura, porque en vez de agrandar, achica.

Una Derivada Topológica.   

Definición 1 Sea $X$ espacio topológico. La derivada de Cantor-Bendixson de $X$ es $X’\mathrel{\mathop:}= \{x\in X : x \text{ no es aislado}\}$.

De hecho, aplicar la clausura a un conjunto le agrega todos los puntos de acumulación, y aplicarla a un conjunto cerrado no hace nada. En cambio, la derivada de Cantor-Bendixson sólo deja los puntos de acumulación y se puede aplicar varias veces y obtener cosas distintas cada vez. Para no escribir cosas como $ {X'{}'{}'{}'{}'{}'{}’}$, definimos:

$ \displaystyle X^{(0)}\mathrel{\mathop:}= X; \qquad X^{(n+1)}\mathrel{\mathop:}= \bigl(X^{(n)}\bigr)’.$

Notemos que esta derivada es decreciente, $ {X^{(n)}\supseteq X^{(n+1)}}$ y que cualquiera sea $ {X}$, $ {X’}$ es cerrado.

Ejercicio 1 Probar lo anterior, y encontrar $ {X\subseteq {\mathbb R}}$ tal que $ {X’}$ y $ X'{}’$ sean distintos. (¿Y que $ {X'{}’\neq X^{(3)}}$? ¿Etcétera?)

En general, para cada $n$, hay subconjuntos $X$ de los reales tales que todos los $X^{(j)}$ son distintos con $j< n$. Más aún, hay un $X$ tal que $X^{(n)}$ es una sucesión infinita estrictamente decreciente. Continue reading →