El miércoles pasado terminamos con el curso Teoría de Conjuntos que dicté en FaMAF–UNC. Estoy muy contento por el resultado, y felicito a los “supervivientes” que llegaron hasta el final.

Una característica de este curso es que abordamos algunos temas que (hasta donde llega mi conocimiento) no se incluyen en los programas de otros similares que se hayan dictado en el país. Entre ellos puedo enumerar:

• el desarrollo de inducción y recursión independientemente del Axioma de Partes;
• una introducción al Axioma de Martin usando características cardinales del continuo;
• el estudio de subconjuntos cerrados no acotados (club) y estacionarios de cardinales regulares; y por último
• los resultados de Ulam sobre el problema de la medida de Lebesgue que motivaron la definición de los cardinales medibles.

La importancia técnica del primer ítem radica en que hace posible definir la noción de rango de un conjunto (una medida de complejidad) y la aritmética ordinal sin apelar al axioma que garantiza la existencia del conjunto de partes de cualquier conjunto. Esto tiene aplicaciones en las pruebas de independencia, igual que el segundo ítem. Sobre este último y el tercero quisiera extenderme en otro momento. Quisiera dedicar el resto de este post al cuarto ítem, porque muestra una de las tantas conexiones ocultas entre el trabajo fundacional y la matemática tradicional. Continue reading →